Zarys programu matematyki w IB

 (Tak są zgrupowane tematy w banku zadań maturalnych. Prawdziwy sylabus jest dużo obszerniejszym dokumentem)

Uwaga. To są tematy z dwóch klas przedmaturalnych

Zastosowania

[SL - poziom podstawowy, HL - poziom rozszerzony]

1. Liczby i algebra
SL 1.1. Notacja naukowa
SL 1.2. Ciągi i szeregi arytmetyczne
SL 1.3. Ciągi i szeregi geometryczne
SL 1.4. Procent składany i inflacja
SL 1.5. Wstęp do logarytmów
SL 1.6. Zaokrąglanie i szacowanie
SL 1.7. Zwracanie pożyczki i amortyzacja (wartości lokat wpłacanych cyklicznie)
SL 1.8. Rozwiązywanie układów równań liniowych i równań wielomianowych z wykorzystaniem technologii
HL 1.9. Prawa logarytmów
HL 1.10. Wyrażenia z niecałkowitymi wykładnikami
HL 1.11. Suma nieskończonego szeregu geometrycznego
HL 1.12. Wstęp do liczb zespolonych
HL 1.13. Współrzędne biegunowe liczb zespolonych
HL 1.14. Wstęp do macierzy
HL 1.15. Wartości i wektory własne

2. Funkcje
SL 2.1. Równania prostych, prostopadłość i równoległość
SL 2.2. Funkcje, oznaczenia dziedziny i zbioru wartości, wykres funkcji odwrotnej jako odbicie lustrzane
SL 2.3. Wykresy
SL 2.4. Podstawowe własności wykresów, przecięcia używając technologii
SL 2.5. Modelowanie funkcjami
SL 2.6. Umiejętność modelowania
HL 2.7. Funkcje złożone, znajdowanie odwrotnych z uwzględnieniem dziedzin
HL 2.8. Transformacje wykresów, składanie transformacji
HL 2.9 HL modelowanie funkcyjne
HL 2.10. Skalowanie i wykresy log-log

3. Geometria i trygonometria
SL 3.1. Przestrzeń 3D, objętość, kąty, środki odcinków
SL 3.2. Trygonometria w 2D i w 3D
SL 3.3. Kąt podniesienia i kąt depresji
SL 3.4. Okręgi, pole wycinka i długość łuku, tylko w stopniach
SL 3.5. Przecięcie prostych, równanie symetralnych
SL 3.6. Diagramy Voronoja
HL 3.7. Radiany
HL 3.8. Okrąg jednostkowy, identyczność Pitagorasa, graficzne rozwiązywanie równań
HL 3.9. Macierze transformacji
HL 3.10. Definicje wektora
HL 3.11. Wektorowe równanie prostej w 2D i w 3D
HL 3.12. Zastosowanie wektorów w kinematyce
HL 3.13. Iloczyn skalarny i wektorowy
HL 3.14. Teoria grafów
HL 3.15. Macierze stowarzyszone i tabele
HL 3.16. Drzewa i algorytmy cykli, problemy chińskiego listonosza i komiwojażera

4. Statystyka i prawdopodobieństwo
SL 4.1. Pojęcia, wiarygodność
SL 4.2. Histogramy, wykresy skumulowanych częstości, wykresy pudełkowe
SL 4.3. Średnia, mediana (środkowa). Średnia zgrupowanych danych, odchylenie standardowe, kwartyle, zakres międzykwartylowy
SL 4.4. Współczynnik Pearsona r, równanie “y od x”.
SL 4.5. Pojęcie prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane
SL 4.6. Sumy, iloczyny zdarzeń. Zdarzenia wykluczające się, niezależne, warunkowe, diagramy probabilistyczne
SL 4.7. Dyskretne zmienne losowe
SL 4.8. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
SL 4.9. Rozkład Gaussa i obliczenia
SL 4.10. Współczynnik pozycyjny Spearmana
SL 4.11. Wartości obserwowane i oczekiwane, hipotezy, chi-kwadrat, testowanie rozkładów, test t studenta
HL 4.12. Zbieranie danych, test wiarygodności rzetelności
HL 4.13. Regresja nieliniowa
HL 4.14. Transformacje liniowe zmiennej losowej, E(X), VAR(X), estymatory nieobciążone
HL 4.15. Centralne twierdzenie graniczne
HL 4.16. Przedziały ufności
HL 4.17. Rozkład Poissona
HL 4.18. Z test i T test, błędy I i II rodzaju
HL 4.19. Macierze przejścia i procesy Markowa
   
5. Rachunek różniczkowy i całkowy
SL 5.1. Wstęp do rachunku różniczkowego
SL 5.2. Funkcje rosnące i malejące
SL 5.3. Różniczkowanie wielomianów
SL 5.4. Proste styczne i normalne
SL 5.5. Wstęp do całkowania. Pola pomiędzy wykresem a osią x
SL 5.6. Punkty stacjonarne, lokalne minima i maksima
SL 5.7. Optymalizacja
SL 5.8. Prawo trapezów (całkowanie numeryczne)
HL 5.9. Różniczkowanie podstawowych funkcji i korzystanie z praw różniczkowania
HL 5.10. Drugie pochodne i test na maksimum i minimum
HL 5.11. Całka nieoznaczona, odgadywanie oryginału pochodnej funkcji złożonej, całkowanie przez podstawienie
HL 5.12. Pola pomiędzy krzywą a osią x, a osią y, objętości obrotowe dookoła x i dookoła y
HL 5.13. Kinematyka
HL 5.14. Wprowadzenie równań różniczkowych, rozdzielanie zmiennych
HL 5.15. Pola kierunków
HL 5.16. Metoda Eulera dla równań stopnia pierwszego
HL 5.17. Portret fazowy
HL 5.18. Metoda Eulera dla równań stopnia drugiego  

Matematyka czysta

1. Liczby i algebra
SL 1.1. Notacja naukowa
SL 1.2. Ciągi i szeregi arytmetyczne
SL 1.3. Ciągi i szeregi geometryczne
SL 1.4. Procent składany i inflacja (program finance)
SL 1.5. Wstęp do logarytmów
SL 1.6. Proste dowody
SL 1.7. Prawa logarytmów i potęgowania
SL 1.8. Suma nieskończonego szeregu geometrycznego
SL 1.9. Potęgowanie dwumianu do naturalnej potęgi
SL 1.10. Permutacje i kombinacje, podnoszenie dwumianu do ujemnych i ułamkowych potęg
HL 1.11. Ułamki proste
HL 1.12. Liczby zespolone - współrzędne biegunowe i kartezjański (Argand diagrams)
HL 1.13. Przedstawienie biegunowe i eulerowskie
HL 1.14. Zespolone pierwiastki wielomianów, pierwiastki sprzężone, twierdzenie de Moivre’a, pierwiastki i potęgi liczb zespolonych
HL 1.15. Dowód przez indukcję, zaprzeczenie, kontrprzykład
HL 1.16. Rozwiązanie układu równań liniowych (najczęściej 3 równań z parametrem) 

2. Funkcje
SL 2.1. Równanie prostej, równoległość i prostopadłość
SL 2.2. Funkcje, wyznaczenie dziedziny i zbioru wartości, wykres funkcji odwrotnej jako lustrzane odbicie
SL 2.3. Robienie wykresów
SL 2.4. Podstawowe własności wykresów, przecięcia wykresów z użyciem technologii
SL 2.5. Składanie funkcji, identyczność, znajdowanie odwrotnej
SL 2.6. Funkcja kwadratowa
SL 2.7. Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych, wyróżnik i charakter pierwiastków
SL 2.8. Odwrotność (1/f(x)) i proste funkcje wymierne, asymptoty
SL 2.9. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne
SL 2.10. Rozwiązywanie równań analitycznie i graficznie
SL 2.11. Transformacje funkcji
HL 2.12. Twierdzenie o reszcie i iloczynie dla wielomianów
HL 2.13. Funkcje wymierne
HL 2.14. Funkcje parzyste i nieparzyste, samoodwrotne, ograniczenia dziedzin
HL 2.15. Rozwiązywanie nierówności
HL 2.16. Wykresy funkcji moduł i modułowe nierówności

3. Geometria i trygonometria
SL 3.1. Przestrzeń 3D, objętość, kąty, odległość, środek odcinka
SL 3.2. Trygonometria w 2D i w 3D, prawo sinusów i cosinusów
SL 3.3. Zastosowania: kąty podniesienia i kąty depresji
SL 3.4. Okręgi: radiany, łuki i wycinki
SL 3.5. Definicje sin i cos na kółku jednostkowym. Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów
SL 3.6. Tożsamość Pitagorasa, podwojenie kątów
SL 3.7. Funkcje trygonometryczne, ich wykresy, transformacje oraz złożenia
SL 3.8. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
HL 3.9. Odwrotne ilorazy trygonometryczne i inne pitagorejskie tożsamości, “odwrotności” funkcji trygonometrycznych
HL 3.10. Tożsamości dla sumy i różnicy kątów
HL 3.11. Relacje pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi
HL 3.12. Definicje wektorów
HL 3.13. Iloczyn skalarny
HL 3.14. Wektorowe równanie prostej
HL 3.15. Klasyfikacja prostych
HL 3.16. Iloczyn wektorowy
HL 3.17. Wektorowe równanie płaszczyzny
HL 3.18. Przecięcia linii i płaszczyzn


4. Statystyka i prawdopodobieństwo
SL 4.1. Pojęcia, rzetelność i techniki wybierania próbki
SL 4.2. Histogramy, wykresy skumulowanych częstości, wykresy pudełkowe
SL 4.3. Średnia, mediana (środkowa), średnia danych pogrupowanych, odchylenie standardowe, kwartyle, zakres międzykwartylowy
SL 4.4. Współczynnik Pearsona, wykres rozproszony, równanie y od x
SL 4.5. Pojęcia prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane
SL 4.6. Sumy, iloczyny zdarzeń. Zdarzenia wykluczające się, niezależne, warunkowe, diagramy probabilistyczne
SL 4.7. Dyskretne zmienne losowe
SL 4.8. Rozkład Bernoulliego
SL 4.9. Rozkład Gaussa i obliczenia
SL 4.10. Regresja x od y
SL 4.11. Warunkowe i niezależne prawdopodobieństwa, test niezależności
SL 4.12. Wartości Z, odwracanie prawdopodobieństwa Gaussa by znaleźć średnią i odchylenie standardowe
HL 4.13. Twierdzenie Bayesa
HL 4.14. Własności ciągłych i dyskretnych zmiennych losowych

5. Rachunek różniczkowy i całkowy
SL 5.1. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego
SL 5.2. Funkcje rosnące i malejące
SL 5.3. Różniczkowanie wielomianów
SL 5.4. Proste styczne i normalne
SL 5.5. Wstęp do całkowania, pola pomiędzy wykresem a osią x
SL 5.6. Różniczkowanie  wyrażeń potęgowych z niecałkowitymi wykładnikami, pochodne funkcji złożonych, iloczynów i ilorazów funkcji
SL 5.7. Druga pochodna
SL 5.8. Testowanie maksimów i minimów, optymalizacja. Punkty przegięcia
SL 5.9. Kinematyka
SL 5.10. Całka nieoznaczona, odgadywanie oryginału pochodnej funkcji złożonej, całkowanie przez podstawienie
SL 5.11. Całka oznaczona, pola pod wykresem i pola między wykresami
HL 5.12. Obliczanie pochodnej z definicji
HL 5.13. Granice i l’Hopital
HL 5.14. Funkcje uwikłane, tempo zmian, optymalizacja
HL 5.15. Dalsze różniczkowanie i nieoznaczona całka z nich, także ułamków prostych
HL 5.16. Całkowanie przez podstawienie i przez części, także wielokrotne
HL 5.17. Pole pomiędzy krzywą i osią y, objętości obrotowe dookoła osi x i dookoła osi y
HL 5.18. Równania różniczkowe pierwszego stopnia, metoda Eulera, rozdzielenia zmiennych, czynnika całkującego. Równania jednorodne z podstawieniem y=vx
HL 5.19. Szeregi MacLaurin’a